高考中的立体几何问题（文科数学全国1卷）

              马丽丽

立体几何作为高考中的一大板块，其重要程度是不言而喻的。为了对立体几何进行更有针对性、更有效的复习，我对近五年文科数学全国1卷中的立体几何题做了深入的研究。

一、试卷分析

经过分析归纳总结，我绘制了如下表格：

从上述表格中我们可以看到，立体几何在高考中所占的分值平均为22分（两个小题，一个大题），2018年甚至达到了27分，所以教学中一定要重视立体几何的复习以及得分。

二、考情考点分析

1）空间几何体的结构、三视图、直观图。

空间几何体的结构特征、三视图、直观图在高考中几乎年年考查。主要考查根据几何体的三视图求其体积与表面积，或者与立体几何的其他知识相结合，要求学生具有较强的空间想象能力。以选择题和填空题为主。

2）空间几何体的表面积与体积。

表面积与体积是高考考查的重点内容，主要考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求学生有较强的空间想象能力和计算能力，经常应用转化与化归思想。选择题、填空题和解答题都有考到。

3）空间点、直线、平面之间的位置关系。

主要考查与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断和求解异面直线所成的角，要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力，以选择题和填空题为主。

4）直线、平面平行、垂直的判定与性质。

该部分是高考重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其性质，及其灵活应用。要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归思想，以解答题为主，小题也有涉及。

三、典型高考题解析

例1（2015全国新课标卷1第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则(  )     

（A）      （B）

（C）      （D）

思路探求：由正视图和俯视图可知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的底面半径与球的半径都为，圆柱的高为，其表面积为，解得

解答：选

方法点睛：空间几何体的结构特征、三视图、直观图在高考中几乎年年考查，经常与表面积和体积结合考查,主要考查常见几何体及其组合体的三视图。

例2（2017全国新课标卷1第16题）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径。若平面平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为________。

思路探求：取的中点，连接.因为,所以.因为平面平面,所以平面.设,则,所以,所以球的表面积为

解答：

方法点睛:本题考查三棱锥的外接球。与求有关的切接问题关键是要找到（或设出）球心，然后利用球面上点到球心的距离为半径，通过作截面、补形、解方程等方法将半径求出。

例3(2014全国新课标卷1第19题) 如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.

（I）证明：

（II）若,求三棱柱的高.

思路探求：（I）要证明，我们可以通过面面垂直来证明线面垂直，经分析平面.

（II）求三棱柱的高,可以直接将高作出来,但技巧性较强。也可以通过等体积法把问题转化。

解答：（I）连结，则为与的交点，因为侧面为菱形，所以，又平面，故，所以平面，由于平面， 故                           

（II）解法1：作,垂足为,连结,作,垂足为,

因为，故,又因为,所以,所以.又,所以.因为所以△为等边三角形,故在中，,,,可得，由于，所以，在中，,,故,且，得.

又因为为的中点，所以点到平面的距离为,故三棱柱的高为.

解法2：三棱柱的高即为三棱锥的高,设其为.因为,所以,即.同解法1过程,可求得,,.故.

方法点睛:线、面平行、垂直位置关系是高考考查的重点内容，要熟练掌握平面几何中的平行、垂直的相关结论，以及高中阶段学习的线、面平行、垂直的判定定理和性质，方能在解题时实现线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直的灵活转化。求三棱柱的高时，除了可以考虑把高作出来，也可以灵活转化，利用三棱锥的等体积法是求高的重要方法。另外，空间几何体的表面积和体积也是考查的重点，如2015全国新课标卷1第18题，2016全国新课标卷1第18题，2017全国新课标卷1第18题，2018全国新课标卷1第18题。